Equação da Parábola

Elementos de uma parábola:

Dada uma reta d e um ponto F, definimos parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto F e da reta d.

A parábola conta com os seguintes elementos:
A reta d é chamada de diretriz da parábola e o ponto F é o ponto focal, ou foco da parábola. Além destes dois elementos ainda temos o ponto V, vértice da parábola e a reta que passa pelos pontos  V e F que é chamada de eixo de simetria.

Equação da parábola com vértice na origem

Antes de fornecermos a equação geral da parábola, vamos analisar a equação de quatro casos particulares onde o vértice das parábolas se encontram na origem dos eixos no plano cartesiano.:

(I) Primeiro caso:  V(0;0), Diretriz y = -c e foco F(0;c)

Como d(P,F)=d(P,P’) temos que

(II) Segundo caso:  V(0;0) Diretriz  y=c e foco F(0;-c)

Como d(P,F)=d(P,P’) temos que

(III) Terceiro caso: V(0;0) Diretriz x=-c e foco F(c;0)

Como d(P,F)=d(P,P’) temos que

(IV) Quarto caso:  V(0,0) Diretriz x=c e foco F(-c;0)

Como d(P,F)=d(P,P’) temos que

Assim, para parábolas com vértice na origem, V(0,0), temos as equações x² = 4cy, x² = -4cy, y² = 4cx e y² = -4cx. Note que para as duas primeiras equações a diretriz é paralela ao eixo Ox e para as demais, a diretriz é paralela ao eixo Oy. Quanto ao sinal, percebemos que quando c>0 a concavidade está voltada para o lado positivo do eixo e quando c<0 a concavidade está voltada para o lado negativo do eixo. Ressaltamos ainda que 4c que aparece em todas as equações é igual a duas vezes a distância do foco ao vértice ou do vértice à diretriz, assim, podemos substituí-los por 2a onde a = d(F,d) assim, as equações podem ser escritas da seguinte forma:

Equação geral da parábola

Para a equação geral, alguns autores apenas acrescentam as coordenadas do vértice às equações encontradas acima, da seguinte forma:

E, apenas justificam o processo com alguns exemplos particulares para confirmar a veracidade da afirmação. Aqui, demos preferência à demonstração da equação geral, para que fique bem claro de onde saiu cada elemento da equação e assim, ter a confirmação bem embasada de sua veracidade .

Demonstração:
Dada a parábola de foco F(x_f,y_v), vértice V(x_v,y_v),  diretriz d: x=x_d  e o ponto P(x,y) pertencente à parábola, podemos localizar o ponto P’(x_d,y), como no gráfico a seguir:  

Temos que d(P,F)=d(P,P'), logo,

Desta forma encontramos a equação da parábola com diretriz  d: x=x_{d .} Para a demonstração de uma parábola com diretriz d: y = y_d  o processo é análogo.