Posições relativas das retas

Resumo

Dadas as retas  r : y=ax+b e s : y=a'x+b'

1.  se a=a’ ® r//s  (paralelas)
2. se a=a’ e  b=b’® r=s  (coincidentes)
3. se a.a’= -1 ® a⊥ a’    (perpendiculares)
4. se a≠a’ e  a.a’≠ -1 ® r e s são concorrentes

Retas Paralelas

Dadas as retas  r: y = ax+b e s: y= a'x+b' , r e s são ditas paralelas, se e somente se, a = a'.
Como analisamos no item 06.Equação geral e reduzida da reta , na equação y=ax+b, o coeficiente a determina a inclinação da reta com relação ao eixo Ox, assim, se duas retas tiverem a mesma inclinação, elas serão paralelas.

Recordando: Para obter o coeficiente angulara da reta basta tomarmos  razão entre a diferença das ordenadas pela diferença das abscissas de dois pontos, da seguinte forma:

Sendo A(x, y) e B(x_0, y₀) dois pontos pertencentes à reta t, queremos determinar a inclinação de t com relação ao eixo Ox.

   

Exemplo:

Sendo r a reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(2, 3) e a reta s passa pelos pontos C(7/2, 2) e D(5,5), queremos verificar se r e s são paralelas.

Resolução: 

Como a=a', temos que as retas r e s são paralelas como podemos verificar na figura a seguir:

Observação: Vimos que para as retas r: y = ax+b e s: y= a'x+b' , se a=a' então as retas são paralelas, porém se também ocorrer que b=b' dizemos que as retas são coincidentes.

Retas Perpendiculares

Dadas as retas  r: y = ax+b e s: y= a'x+b'   se a.a'= -1, então, as retas  r e s são perpendiculares.

Demonstração:

Sento os pontos A(a,b)  e B(c,d)  extremos de um segmento e  P(x,y) um ponto qualquer da mediatriz deste segmento, temos que

Retas Concorrentes

Dadas duas retas r: y = ax+b e s: y= a'x+b' , se a ≠ a' e a.a' ≠ -1, então as retas r e s são concorrentes, ou seja, encontram-se em algum ponto mas o ângulo formado entre elas é diferente de 90°

Exercícios resolvidos:
Determine a posição relativa das  retas que passam pelos seguintes pontos:
1) A(2,4) e B(3,1) pertencentes à reta r e C(2,2) e D(5,3) pertencentes à reta s.
2) A(2,4) e B(3,1) pertencentes à reta u e C(5,1) e D(3,2) pertencentes à reta t.
3) A(3,3) e B(1,-1) pertencentes à reta n e C(3,1) e D(9/2,4) pertencentes à reta m.
4) A(4,5) e B(1,-1) pertencentes à reta p e C(2,1) e D(3,3) pertencentes à reta q.

Resolução: