Equação geral e reduzida da reta

Equação Geral da Reta

Quando calculamos a equação da Mediatriz no item 05 chegamos a Ax + By + C = 0.

Recordando:

Para os pontos A(a,c) e B(c,d) extremos de um segmento e P(x,y) um ponto pertencente à mediatriz deste segmento temos que d(P,A)=d(P,B) logo,

Û x²-2ax +a²+y²-2by+b²= x²-2cx+c²+y²-2dy+d²

Û -2ax+a²-2by+b² = -2cx+c²-2dy+d²

Û2ax+a²-2by+b²+2cx-c²+2dy-d =0

Û 2(-a+c)x + 2(-b+d)y +( a²+b²-c²-d²)=0

Fazendo 2(-a+2c) = A , (-2b+2d)=B e (a²+b²-c²-d²)= C teremos

Ax+By+C=0 com A≠0 ou B≠0

Observe   que  para A≠0 temos que a≠c e para B≠0, b≠d.

Como toda a reta é mediatriz de algum, segmento num plano, essa equação define todas as retas. Assim,

Equação geral da reta: Ax + By + C = 0

Observações:

i) Se  A= 0 e B ≠0 , então a reta terá a equação By + C = 0, ou seja, a reta será paralela ao eixo Ox.

Exemplo:

Para 2y - 5 = 0 temos que y = 2,5

ii) Analogamente, quando A ≠ 0 e B = 0, a reta terá equação Ax + C = 0 , e ela será paralela ao eixo Oy.

Exemplo:

Para 2x +3 = 0, temos que x = -1,5

Obviamente para A=0 e B=0 não existira reta.

Equação reduzida da reta

À partir da Equação geral da reta: Ax + By + C = 0, com A≠0 e B≠0, podemos fazer

A equação reduzida da reta.

Se A = 0 e B≠0, então a = 0 e a equação será a constante  y = b.

Se C = 0 e B≠0 então b = 0 e a equação será y = ax

O caso de  B = 0 já foi analisado em na observação (ii) acima.

Na equação reduzida da reta, a é chamado de coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear da reta.

Para x = 0 na equação y = ax-b , temos que y = b, ou seja, a reta interceptará o eixo Oy em b, logo, o coeficiente linear determina o ponto de intersecção da reta com o eixo Oy.
O coeficiente angular de uma reta é dado pela razão entre  diferença das ordenadas de dois pontos pertencentes à reta e a diferença entre suas abscissas, da seguinte forma:
Sendo A(x,y) e B(x₀, y₀)  dois pontos pertencentes à reta r, para determinarmos o coeficiente angular m da reta r basta fazermos

O coeficiente angular m da reta r determinará a inclinação da reta r com relação ao eixo Ox.

No caso da equação y= ax+b temos que a = m.
A mesma equação y=ax+b pode ser encontrada em alguns livro como y  = m x + q, onde m = a e q = b, dependendo da preferência de cada autor.


Equação reduzida da reta à partir de dois pontos

Sendo A(s,t) e B(u,v)  dois pontos pertencentes à reta r, apresentaremos duas formas de encontrarmos a equação reduzida da reta à partir de dois pontos

1) Primeiro calculamos o coeficiente angular da reta

Exemplo: 

Para A(2,1) e B(3,4) pertencentes à reta t teremos:

2) Um segundo modo de calcularmos a equação da reta é usando a matriz de coordenadas (matriz 3x3), onde as coordenadas dos pontos são colocadas nas duas primeiras colunas  e a terceira coluna é composta apenas pelo número um,  como mostramos a seguir:

Dados os pontos A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) pertencentea à reta r e P(x,y) um ponto qualquer da mesma reta, teremos

Exemplo:

Usando os mesmos pontos  A(2,1) e B(3,4)  pertencentes à reta t, do exemplo anterior e usando o método de Sarrus para calcular o determinante, teremos:

2.4.1+1.1.x+1.3.y-(x.4.1+y.1.2+1.3.1)=0

8+x+3y-4x-2y-3=0

-3x+y+5 = 0 

Onde -3x+y+5 = 0  é a equação geral da reta e , isolando o y temos  y=3x-5 a equação reduzida que queríamos.